Задача к ЕГЭ на тему «Окружность: описанная около многоугольника» №33

Просмотров 5 Комментарии 0

Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен $108∘.$ Найдите число вершин многоугольника.

1 способ.

Рассмотрим чертеж:

$PIC$

Пусть $O$ — центр окружности, $A, B, C$ — три последовательные вершины правильного многоугольника. Тогда $∘ ∠ABC = 108.$

Заметим, что правильный многоугольник не может иметь 3 или 4 вершины, так как в этом случае это будет правильный треугольник или квадрат, а у этих фигур угол между соседними сторонами равен $∘ 60$ и $∘ 90$ соответственно.

Проведем $OA, OB, OC$ — радиусы. Так как $AB = BC,$ то $△AOB =△BOC.$ К тому же эти треугольники равнобедренные ( $AB$ и $BC$ их основания), следовательно,

∠ABO = ∠CBO = 0,5⋅108∘ = 54∘

Отсюда

∠AOB = 180∘− 2⋅54∘ = 72∘

Значит, дуга $AB$ равна $72∘.$ Так как равные хорды стягивают равные дуги, а все стороны многоугольника равны (он правильный), то $n$ вершин многоугольника разбивают окружность на $n$ дуг, градусные меры которых равны $72∘.$ То есть

∘ ∘ 72 ⋅n =360 ⇒ n = 5

2 способ.
Так как многоугольник правильный, его угол равен $108∘,$ а сумма всех углов правильного многоугольника равна $180∘ ⋅(n − 2),$ где $n$ — число вершин, то

108∘⋅n= 180∘(n − 2) ⇒ n = 5

В таком случае информацию о том, что многоугольник вписан в окружность, мы не использовали.