Задача к ЕГЭ на тему «Окружность: описанная около многоугольника» №29

Просмотров 7 Комментарии 0

Стоугольник $A1 ...A100$ вписан в окружность. Найдите $∠A1 +∠A3 + ∠A5 +...+ ∠A99.$ Ответ дайте в градусах.

$∠A1,$ $∠A3,$ …, $∠A99$ — вписанные, тогда $∠A1 = 0,5⋅⌣ A2 ...A100,$ …, $∠A99 = 0,5⋅⌣ A100A1...A98.$

$PIC$

Назовём меньшую дугу $⌣ A1A2$ малой. Аналогично назовём меньшие дуги $⌣ A2A3,$ …, $⌣ A100A1$ малыми. Каждую из дуг $⌣ A2...A100,$ …, $⌣ A100A1...A98$ можно разложить в сумму малых дуг.

$∠A1 +∠A3 + ∠A5 +...+ ∠A99 = 0,5⋅$ (сумму некоторых малых дуг).

Остаётся понять, сколько раз в данную сумму войдёт каждая малая дуга.

Например, $⌣ A1A2$ войдёт $50− 1= 49$ раз (среди $50$ слагаемых $⌣ A2...A100$ , …, $⌣ A100A1 ...A98$ она не входит только в $⌣ A2...A100$ ).

Аналогично любая дуга войдёт в данную сумму $49$ раз, следовательно,

∠A1 + ∠A3+ ∠A5 + ⋅⋅⋅+ ∠A99 = 0,5⋅49l,

где $l$ — градусная мера окружности.

Так как $l = 360∘,$ то

( ) ∠A1 +∠A3 + ∠A5 +...+ ∠A99 = 100-− 1 ⋅180∘ = 8820∘. 2

Окружность: описанная около многоугольника