Задача к ЕГЭ на тему «Окружность: описанная около многоугольника» №25

Просмотров 8 Комментарии 0

В окружность вписан пятиугольник $ABCDE,$ причем $AB = BC = DE = EA,$ $∠CAD = 30∘.$ Найдите меньший из углов данного пятиугольника. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Рассмотрим картинку:

$PIC$

Т.к. равные хорды стягивают равные дуги, то меньшие полуокружности дуги $⌣ AB,$ $⌣ BC,$ $⌣ DE,$ $⌣ EA$ равны:

⌣ ⌣ ⌣ ⌣ AB= BC= DE= EA= α

Т.к. $∠CAD =30∘,$ то $⌣ CD= 60∘.$

Т.к. градусная мера всей окружности равна $360∘,$ то

4α + 60∘ = 360∘ ⇒ α = 75∘

Таким образом,

∠A = ∠B = ∠E = 1(2α+ 60∘)= 105∘ 2 1 ∘ ∠C = ∠D = 2 ⋅3α = 112,5

Следовательно, меньший из углов равен $105∘.$

Окружность: описанная около многоугольника