Задача к ЕГЭ на тему «Окружность: описанная около многоугольника» №22

Просмотров 5 Комментарии 0

Треугольники $ABC$ и $ADC$ имеют общее основание, $∠ABC =∠ADC,$ $M$ — точка пересечения $AD$ и $BC,$ $AM = 10,$ $MD = 6,$ $BM = 8.$ Найдите $MC.$

$PIC$

Так как $∠ABC = ∠ADC,$ то около четырёхугольника $ABDC$ можно описать окружность. Покажем это:

$PIC$

$∠AMB$ и $∠DMC$ — вертикальные, тогда $∠AMB = ∠DMC;$ $∠ABC = ∠ADC,$ тогда треугольники $ABM$ и $DMC$ подобны по двум углам, откуда получаем:

AM-- BM-- MC = MD

Но углы $BMD$ и $AMC$ также вертикальные, тогда $∠BMD = ∠AMC$ и треугольники $BMD$ и $AMC$ подобны, так как если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, а стороны, образующие этот угол в одном треугольнике, пропорциональны соответствующим сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Из подобия получаем: $∠CBD = ∠CAD,$ $∠MCD =BAM,$ тогда

∘ ∠ABC + ∠CBD +∠ACB + ∠BCD = ∠ABC +∠CAD + ∠ACB +∠BAM = 180 ,

так как это сумма углов треугольника $ABC$ .

Если в выпуклом четырёхугольнике сумма противоположных углов равна $180∘,$ то около него можно описать окружность, тогда около $ABDC$ можно описать окружность.

Так как произведение отрезков одной из пересекающихся хорд равно произведению отрезков другой, то $AM ⋅MD =BM ⋅MC,$ то есть

60= 8⋅MC ⇒ MC = 7,5