Задача к ЕГЭ на тему «Окружность: описанная около многоугольника» №19

Просмотров 6 Комментарии 0

Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.

$PIC$

Пусть $O$ — центр окружности. Проведем радиусы $OA, OB, OC, OD.$ Пусть $OH ⊥ BC, OK ⊥ AD.$

$PIC$

Так как $BC ∥ AD$ и $OH ⊥ BC, OK ⊥ AD$ , то точки $H, O, K$ лежат на одной прямой. Следовательно, $HK$ — высота трапеции.

Рассмотрим треугольник $BCO.$ По формуле Герона его площадь равна

SBOC = √8-⋅2-⋅3⋅3= 12

С другой стороны, $SBCO =0,5BC ⋅OH,$ откуда

12= 0,5BC ⋅OH ⇒ OH = 4

Рассмотрим треугольник $ADO.$ Аналогично ищем $SADO = 12$ и $SADO = 0,5AD ⋅OK,$ откуда $OK =3.$ Следовательно,

HK = 4+ 3= 7