Задача к ЕГЭ на тему «Окружность: описанная около многоугольника» №13

Просмотров 5 Комментарии 0

В окружность вписан равносторонний треугольник $ABC.$ Прямые, содержащие медианы этого треугольника, повторно пересекают окружность в точках $A′, B ′$ и $C′.$ Найдите площадь фигуры $△ABC ∩△A ′B′C′,$ если $AB = 64√3.$

$PIC$

Фигура, равная $△ABC ∩△A ′B′C ′,$ это шестиугольник $QW ERT Y.$

Заметим, что треугольник $A′B′C′$ тоже правильный, причем равен треугольнику $ABC.$ Покажем, что $∠A ′B′C′$ равен $60∘.$

$∠BAA ′ = 30∘,$ так как $AA′$ — биссектриса. Аналогично $∠BCC ′ = 30∘.$ Следовательно,

′⌣ ′ ⌣′ ⌣ ′ ( ′ ′) ∘ A BC = AB + BC =2 ∠BAA +∠BCC =120 ⇒ ′ ′ ′ 1 ⌣′ ′ ∘ ⇒ ∠A B C = 2A BC = 60

Аналогично доказывается, что $′ ′ ∘ A = C = 60.$

Следовательно, треугольник $′ ′ ′ AB C$ правильный. А так как радиус описанной около него окружности равен радиусу окружности, описанной около $△ABC,$ то треугольники равны.

Заметим, что $QW ERT Y$ — правильный шестиугольник.

У треугольника $QAY$ луч $AA′$ содержит и биссектрису, и высоту, следовательно, треугольник $QAY$ равнобедренный. А так как его угол $A$ равен $60∘,$ то он равносторонний. Аналогично доказывается, что и другие треугольники равносторонние ( $YB ′T, TCR$ и т.д.).

Так как $∠W BA ′ = ∠ABA ′ = 90∘$ (опирается на диаметр), а $∠W BE = 60∘,$ то $∠EBA ′ = ∠EA ′B = 30∘,$ следовательно, $EA ′ = EB.$ Следовательно, $△W BE = △EA ′R.$ Аналогично доказывается равенство остальных треугольников.

Следовательно, $AQ = QW = W B$ и $√- AQ + QW + W B =AB =6 43,$ значит, $√ - QW = 2 43.$ Тогда площадь правильного шестиугольника равна

3√3- 2 SQWERTY = 2 QW = 18