Задача к ЕГЭ на тему «Окружность: описанная около многоугольника» №10

Просмотров 5 Комментарии 0

Восьмиугольник $ABCDEF GH$ вписан в окружность. Найдите $∠HAB + ∠BCD + ∠DEF + ∠F GH.$ Ответ дайте в градусах.

$∠HAB,$ $∠BCD,$ $∠DEF$ и $∠FGH$ — вписанные, тогда

∠HAB = 0,5⋅⌣ BCDEF GH ∠BCD = 0,5⋅⌣ DEF GHAB ∠DEF = 0,5⋅⌣ FGHABCD ∠F GH = 0,5⋅⌣ HABCDEF

$PIC$

Назовём меньшую дугу $⌣ AB$ малой. Аналогично назовём меньшие дуги $⌣ BC,$ …, $⌣ HA$ малыми.

Каждую из дуг $⌣ BCDEF GH,$ $⌣ DEF GHAB,$ $⌣ FGHABCD,$ $⌣ HABCDEF$ можно разложить в сумму малых дуг.

$∠HAB + ∠BCD +∠DEF + ∠F GH = 0,5⋅$ (сумму некоторых малых дуг). Остаётся понять, сколько раз в данную сумму войдёт каждая малая дуга.

Например, $⌣ AB$ войдёт трижды (среди слагаемых $⌣ BCDEF GH,$ $⌣ DEF GHAB,$ $⌣ FGHABCD,$ $⌣ HABCDEF$ она не входит только в $⌣ BCDEF GH$ ).

Аналогично любая дуга войдёт в данную сумму трижды, следовательно,

∠HAB + ∠BCD + ∠DEF + ∠FGH = 0,5⋅3l,

где $l$ — градусная мера окружности.

Так как $l = 360∘,$ то

∘ ∠HAB +∠BCD + ∠DEF + ∠FGH = 540

Окружность: описанная около многоугольника