Задача к ЕГЭ на тему «Окружность. Хорды и касательные» №5

Просмотров 7 Комментарии 0

Найдите радиус окружности, проходящей через вершину $C$ прямого угла треугольника $ABC$ , основание $H$ высоты $CH$ и точку $K$ — середину катета $BC$ , если гипотенуза треугольника равна $c$ .

Сразу заметим, что $∠C = 90 ∘$ — вписанный угол, следовательно, он опирается на диаметр. Значит, если $M$ – точка пересечения окружности с катетом $AC$ , то $M K$ – диаметр.

$PIC$

Заметим, что в $△CHB$ $HK$ — медиана, проведенная из вершины прямого угла, следовательно, она равна половине гипотенузы, то есть $HK = KC$ .
Таким образом, прямоугольные треугольники $M CK$ и $M HK$ ( $∘ ∠H = 90$ , т.к. опирается на диаметр) равны по катету и гипотенузе. Значит, $KM$ содержит биссектрису $∠CKH$ , а так как $△CKH$ равнобедренный, то и высоту, то есть $KM ⊥ CH$ .
По условию также $CH ⊥ AB$ , следовательно, $M K ∥ AB$ . Значит, по теореме Фалеса $M$ – середина катета $AC$ , то есть $M K$ – средняя линия в $△ABC$ .
Значит, радиус окружности равен

1 1 1 1 R = -M K = --⋅-AB = --c. 2 2 2 4