Задача к ЕГЭ на тему «Окружность. Хорды и касательные» №4

Просмотров 5 Комментарии 0

Докажите, что отличная от $B$ точка пересечения окружностей, построенных на сторонах $BA$ и $BC$ треугольника $ABC$ как на диаметрах, лежит на прямой $AC.$

Пусть $K$ — вторая точка пересечения окружностей. Тогда имеет место одна из картинок ниже.

Угол $∠AKB =90∘$ как вписанный угол, опирающийся на диаметр $AB.$ Аналогично $∠CKB = 90∘$ как вписанный угол, опирающийся на диаметр $BC.$

$PIC$ $PIC$

Таким образом, через точку $K$ прямой $BK$ проведены две прямые $AK$ и $CK,$ перпендикулярные $BK.$ Следовательно, эти прямые совпадают. Значит, точки $A,C$ и $K$ лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.