Задача к ЕГЭ на тему «Окружность. Хорды и касательные» №3

Просмотров 5 Комментарии 0

Даны две концентрические окружности с радиусами $1$ и $3$ и центром $O$ . Третья окружность касается одной окружности внешним образом и другой окружности внутренним образом. Найдите угол между проведенными из точки $O$ касательными к третьей окружности.

Если две окружности касаются, то их центры и точка касания лежат на одной прямой. Таким образом, для второй и третьей окружностей точки $O$ , $Q$ и $P$ лежат на одной прямой, для первой и третьей — точки $O$ , $Q$ и $E$ лежат на одной прямой. Таким образом, точки $O, E, Q, P$ лежат на одной прямой.

$PIC$

Поскольку $OP = 3$ , $OE = 1$ , то диаметр третьей окружности $EP = 3 − 1 = 2$ , следовательно, ее радиус $EQ = 1$ .
Пусть касательные к третьей окружности касаются ее в точках $A$ и $B$ . Тогда радиусы $QA$ и $QB$ перпендикулярны касательным $OA$ и $OB$ соответственно. Таким образом, $△AOQ = △BOQ$ по катету и гипотенузе, следовательно, $∠AOQ = ∠BOQ$ .
Найдем $∠AOQ$ . Заметим, что в $△AOQ$ катет $AQ = 1$ , гипотенуза $OQ = 2$ . Следовательно, $∘ ∠AOQ = 30$ как угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы.
Тогда $∠AOB = ∠AOQ + ∠BOQ = 30∘ + 30∘ = 60∘$ .