Задача к ЕГЭ на тему «Окружность. Хорды и касательные» №2

Просмотров 6 Комментарии 0

Две хорды окружности взаимно перпендикулярны. Найдите расстояние от точки их пересечения до центра окружности, если расстояние между серединами хорд равно $2$ .

Пусть $Q$ – точка пересечения взаимно перпендикулярных хорд $M N$ и $T E$ , $O$ – центр окружности. Тогда необходимо найти $OQ$ .
Пусть $A$ и $B$ – середины этих хорд, то есть $AB = 2$ . Тогда $OA$ и $OB$ – перпендикуляры к этим хордам.

$PIC$

Действительно, $△M ON$ – равнобедренный ( $OM = ON$ как радиусы), поэтому медиана $OA$ в нем является и высотой. Аналогично доказывается, что $OB ⊥ T E$ .
Таким образом, в четырехугольнике $OAQB$ три угла – прямые ( $∠A = ∠Q = ∠B = 90 ∘$ ), следовательно, этот четырехугольник по признаку является прямоугольником. Так как в прямоугольнике диагонали равны, то $OQ = AB = 2$ .