Задача к ЕГЭ на тему «Окружность. Хорды и касательные» №1

Просмотров 5 Комментарии 0

Дан такой треугольник $ABC$ , что окружность с центром в точке $O$ проходит через точки $B$ и $C$ и касается биссектрисы угла $B$ . Прямая $CO$ пересекает повторно окружность в точке $P$ . Внутри угла, вертикального к $∠CP B$ , выбрана точка $S$ так, что две касательные, проведенные из точки $S$ к окружности, параллельны прямым $BP$ и $CP$ соответственно, а отрезки этих касательных равны $180$ . Найдите квадрат стороны $AC$ , если известно, что $AB = 25$ , а радиус окружности равен $60$ .

Заметим, что $CP$ – диаметр, а $∠CBP = 90∘$ как опирающийся на диаметр.

По условию $SN = 180,OC = 60,AB = 25$ . Пусть также $BL$ – биссектриса угла $B$ .

$PIC$

Обозначим $∠CBL = ∠ABL = α$ . Т.к. угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине дуги, заключенной между ними, то $1 ⌣ ∠CBL = 2BC= ∠CP B = α$ .