Задача к ЕГЭ на тему «НОК, НОД и взаимная простота чисел» №5

Просмотров 5 Комментарии 0

Докажите, что дробь $18n-+1, 45n +1$ где $n∈ ℤ,$ несократима.

Пусть

Н ОД(18n+ 1,45n + 1)= a.

Тогда по определению наибольшего общего делителя $(18n + 1)...a$ и $. (45n+ 1)..a,$ но тогда

.. (5(18n+ 1)− 2(45n +1)).a.

Так как

5(18n + 1) − 2(45n+ 1)= 90n + 5− 90n− 2= 3,

то $3 ...a,$ значит, $a$ равно либо 1, либо 3.

Но так как $18n +1$ не делится на 3, то $a =1,$ следовательно,

Н ОД(18n+ 1,45n + 1)= 1.

Таким образом, дробь $18n+-1 45n+ 1$ — несократима.