Задача к ЕГЭ на тему «НОК, НОД и взаимная простота чисел» №2

Просмотров 6 Комментарии 0

Известно, что $a, b∈ ℕ$ взаимно просты и дробь $3a-+5b 5a +3b$ сократима на число $d ∈ℕ,$ $d⁄= 1.$ Найдите наибольшее возможное $d.$

Так как требуется найти наибольшее возможное $d,$ то

d= НО Д(3a + 5b;5a+ 3b).

Число $5(3a+ 5b)− 3(5a+ 3b)= 16b$ делится на $d.$ Число $5(5a+ 3b)− 3(3a+ 5b)= 16a$ делится на $d.$ Так как $a$ и $b$ взаимно просты, то 16 делится на $d.$

Проверим, может ли быть $d= 16.$ Число $3a+ 5b− (5a+ 3b)= 2(b − a)$ делится на $d.$ Если $d = 16,$ то $(b− a)$ делится на 8.

Возьмём, например, $b= 9,$ $a= 1,$ тогда

3a-+5b = 48= 16-⋅3 , 5a +3b 32 16 ⋅2

то есть $d =16$ — подходит.

НОК, НОД и взаимная простота чисел