Задача к ЕГЭ на тему «Нетипичные задачи» №9

Просмотров 6 Комментарии 0

Найдите наибольшее значение функции

3 x ---x------ y = ln (e + 1) + ln3 (e − 1 ) − 0, 25(x − ln (e − 1))
на [0;ln(e − 1)] .

ОДЗ: ex + 1 > 0 » class=»math» width=»auto»>. Так как <img decoding=, то ex + 1 > 0 » class=»math» width=»auto»>, следовательно, <img decoding= – произвольное. Решим на ОДЗ:

Заметим, что ln3 (e − 1) и ln (e − 1) – просто числа, тогда:

ex 3x2 y′ = ------ + --3------- − 0,25. ex + 1 ln (e − 1)

Исследуем на наличие критических точек:

так как

( ) ex ′ ex -x---- = --x-----2 > 0, e + 1 (e + 1) » class=»math-display» width=»auto»></center> то <img decoding= возрастает, следовательно, на [0;ln (e − 1)] имеем:
ex e0 ------ ≥ ------ = 0, 5, ex + 1 e0 + 1
тогда на [0;ln(e − 1)] можно оценить
x 2 2 y′ = --e--- + ---3x----- − 0,25 ≥ 0,5 + ---3x-----− 0, 25 ≥ 0,25 > 0, ex + 1 ln3(e − 1) ln3 (e − 1 ) » class=»math-display» width=»auto»></center> следовательно, критических точек у функции <img decoding= на отрезке [0;ln(e − 1)] нет и функция y на нём возрастает.

Таким образом, наибольшее значение на [0;ln(e − 1)] функция достигает в x = ln (e − 1 ) .

ln3(e − 1) y(ln (e − 1)) = ln(e − 1 + 1) + --3------- = 2. ln (e − 1)

Итого: 2 – наибольшее значение функции y на [0;ln(e − 1)] .

Нетипичные задачи
Оцените статью
Я решу все!
© 2025 Я решу все!