Задача к ЕГЭ на тему «Нетипичные задачи» №7

Просмотров 6 Комментарии 0

Найдите наименьшее значение функции $y = x2x$ на полуинтервале $(0;0,25]$ .

Для положительных $x$ верно: $y = e2x⋅lnx$ .

( ) ′ 2x⋅lnx ′ 2x⋅lnx ′ 2x⋅lnx 2x- 2x⋅lnx y = (e ) = e ⋅ (2x ⋅ ln x) = e ⋅ 2lnx + x = e ⋅ (2 ln x + 2).

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

e2x⋅lnx ⋅ (2 lnx + 2) = 0 ⇔ 2ln x + 2 = 0

(так как $t e > 0 » class=»math» width=»auto»> при любом <img decoding=$ ), что равносильно $−1 x = e$ . Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ :

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ на $(0;0,25]$ :

$PIC$

4) Эскиз графика $y$ на $(0;0,25]$ :

$PIC$

Таким образом, на $(0;0,25 ]$ функция $y$ убывает, следовательно, наименьшее значение достигается в точке $x = 0,25$ :
$√ ----- y(0,25 ) = 0,250,5 = 0,25 = 0,5$ .

Итого: $0,5$ – наименьшее значение функции $y$ на $(0; 0,25]$ .