Задача к ЕГЭ на тему «Нетипичные задачи» №6

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите тангенс угла, под которым видна кривая, задаваемая уравнением

(y − x2 − 3x + 10)(y + x2 + 3x − 10) = 0,

определенном при $x ∈ [− 5; 2]$ , из точки $A (5, 25;− 5,75)$ .

На рисунке показан угол, под которым из заданной точки видна окружность:

$PIC$

Изобразим график уравнения на координатной плоскости. Оно равносильно

[ y = x2 + 3x − 10 2 y = − x − 3x + 10

при $x ∈ [− 5;2]$ . Графиками обоих уравнений являются параболы, пересекающие ось абсцисс в точках $(− 5;0)$ и $(2;0)$ .
Таким образом, необходимо из точки $A$ провести две касательные к графику и найти тангенс угла между этими касательными, во внутренней области которого находится график.

$PIC$

Пусть $yk1$ – касательная к $y1$ в точке $B1$ , а $yk2$ – касательная к $y2$ в точке $B2$ . Тогда если через точку $A$ провести прямую параллельно оси абсцисс, то $α1$ – угол наклона касательной $yk1$ , а $α2$ – угол наклона касательной $yk2$ к положительному направлению оси абсцисс. Тогда угол между касательными, во внутренней области которого находится график, будет равен