Задача к ЕГЭ на тему «Нетипичные задачи» №4

Просмотров 8 Комментарии 0

Найдите наименьшее значение функции

$y = 3x5 − 10x3 + 15x + 1$ на $[− 2;100 ]$ .

1) $y′ = 15x4 − 30x2 + 15 = 15 (x2 − 1 )2 = 15 (x − 1 )2(x + 1)2$ .

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

2 2 15(x − 1) (x + 1) = 0,

откуда находим корни: $x = 1, x = − 1 1 2$ . Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ :

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ на отрезке $[− 2;100]$ :

$PIC$

4) Эскиз графика $y$ на отрезке $[− 2;100]$ :

$PIC$

Значит точек локального минимума на $[− 2;100]$ нет, $y$ на $[− 2;100]$ возрастает и, следовательно, наименьшее значение функция достигает в $x = − 2$ .

$y(− 2 ) = − 45$ .

Итого: $− 45$ – наименьшее значение функции $y$ на $[− 2;100]$ .