Задача к ЕГЭ на тему «Нетипичные задачи» №10

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите наименьшее значение функции

$y = --x--ex2−2,5x+2,25 x + 1$ на $[0;+∞ )$ .

ОДЗ: $x ⁄= − 1$ . Решим на ОДЗ:

( ) ′ x +-1 −-x- --x--- x2− 2,5x+2,25 2x3-−-0,5x2-−-2,-5x-+-1 x2−2,5x+2,25 y = (x + 1)2 + x + 1 (2x − 2,5) e = (x + 1)2 e .

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

2x3 − 0, 5x2 − 2,5x + 1 x2−2,5x+2,25 3 2 --------(x +-1)2-------e = 0 ⇔ 2x − 0,5x − 2, 5x + 1 = 0

– на ОДЗ (так как $et > 0 » class=»math» width=»auto»> при любом <img decoding=$ ).

У уравнения $2x3 − 0, 5x2 − 2,5x + 1 = 0$ можно подобрать решение $x = 1$ . В результате деления $3 2 2x − 0,5x − 2,5x + 1$ на $(x − 1)$ получается $2 2x + 1,5x − 1$ .

2x3 − 0,5x2 − 2,5x + 1 = (x − 1)(2x2 + 1,5x − 1).

У уравнения $2 2x + 1, 5x − 1 = 0$ два корня: $√ --- √ --- 3- --41- 3- --41- x1 = − 8 + 8 , x2 = − 8 − 8$ . Производная функции $y$ не определена при $x = − 1$ , но $x = − 1$ не входит в ОДЗ.

Таким образом,

( √ ---) ( √ ---) 3 41 3 41 2 x + --− ----- x + --+ ----- (x − 1) ′ --------8-----8----------8-----8----------- x2− 2,5x+2,25 y = (x + 1)2 ⋅ e .

Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ :

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ на $[0;+∞ )$ :

$PIC$

4) Эскиз графика $y$ на $[0; +∞ )$ :

$PIC$

Значит $x = 1$ – точка локального минимума и наименьшее значение на $[0;+ ∞ )$ функция $y$ принимает в ней или в $x = 0$ . Сравним эти значения:

$y(0) = 0$ ,

$y(1) = 0,5 ⋅ e0,75 > 0 » class=»math» width=»auto»>. Итого: наименьшее значение функции <img decoding=$ на $[0;+ ∞ )$ равно $0$ .