Задача к ЕГЭ на тему «Нахождение площади сечения» №1

Просмотров 5 Комментарии 0

Дана правильная треугольная пирамида $SABC$ с вершиной $S$ .

а) Проведите плоскость через середину ребра $AC$ и точки пересечения медиан граней $ASB$ и $CSB.$

б) Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью, если $√ -- AB = 21, AS = 12 2.$

1) Пусть $K$ – середина $AC$ , $SX, AL$ – медианы грани $ASB$ , $CL, SY$ – медианы грани $CSB$ , $AL ∩ SX = M, CL ∩ SY = N$ . $SO$ – высота пирамиды.

Найдем сечение пирамиды плоскостью $M N K$ .
Т.к. пирамида правильная, то $△SXY$ – равнобедренный, $2 SM = SN = -SX ⇒ M N ∥ XY ⇒ M N ∥ (ABC ) 3$ . Таким образом, плоскость $M N K$ содержит прямую $M N$ , параллельную $ABC$ , следовательно, плоскость $M N K$ пересечет плоскость $ABC$ по прямой, параллельной $M N$ (если это не так, то линия пересечения этих плоскостей $l ∩ M N = E ⇒ E ∈ (ABC )$ и $E ∈ M N ⇒ M N$ не может быть параллельна $(ABC )$ ).

$PIC$

Прямая, проходящая через точку $K$ и параллельная $M N$ (или $XY$ ) – это $AC$ . Следовательно, сечением является равнобедренный треугольник $ALC$ .

2) Пусть $LK ∩ SO = H$ . Тогда по теореме о трех перпендикулярах $HK ⊥ AC$ как наклонная ( $HO ⊥ (ABC ),OK ⊥ AC$ как проекция). Следовательно, и $LK ⊥ AC$ .