Задача к ЕГЭ на тему «Нахождение объема или площади поверхности» №5

Просмотров 5 Комментарии 0

Дана пирамида $SABC$ с вершиной $S$ , высота которой падает в точку пересечения биссектрис основания, являющегося равнобедренным треугольником с $AC = CB$ . Известно, что радиус вписанной в треугольник $ABC$ окружности равен $-- 2 − √3$ , $AB = 2$ , $-- AS = 2√ 2$ . Найдите объем пирамиды.

1) $PIC$

Пусть $SH$ – высота пирамиды, то есть $H$ – точка пересечения биссектрис основания. Рассмотрим основание $ABC$ . Так как центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис, то $H$ – центр вписанной окружности. Пусть $AA1, CC1$ – биссектрисы, тогда $CC1$ также медиана и высота, так как $AC = CB$ . Следовательно, $HC1 ⊥ AB$ , следовательно, $HC1 = r$ и есть радиус вписанной окружности.
Проведем $HK = r ⊥ AC$ . Тогда $AK = AC1 = 1$ . Пусть $CK = t$ . Тогда $∘ ---2------2- ∘ -------- CC1 = AC − AC 1 = t(t + 2)$ . Тогда из подобия $△KCH ∼ △ACC1$ :