Задача к ЕГЭ на тему «Нахождение объема или площади поверхности» №4

Просмотров 5 Комментарии 0

Площадь полной поверхности тетраэдра равна $9$ . Найдите площадь полной поверхности пирамиды, вершинами которой являются точки пересечения медиан граней данного тетраэдра.

Пусть $DABC$ – тетраэдр, точки $A1, B1,C1, D1$ — точки пересечения медиан в гранях $DBC, DAC, DAB, ABC$ соответственно.

$PIC$

1) Т.к. медианы точкой пересечения делятся в отношении $2 : 1$ , считая от вершины, то $DA : A M = AD : D M = 2 : 1 1 1 1 1$ . Следовательно, $△M AD ∼ △M A D 1 1$ по углу и двум прилежащим пропорциональным сторонам. Таким образом, $D1A1 ∥ DA$ ( $∠M A1D1 = ∠M DA$ как соответственные) и $1 D1A1 = 3DA$ .

Аналогичным образом можно доказать, что $D1B1 = 1DB 3$ , $D1C1 = 1DC 3$ .

2) $△DC1A1 ∼ △DKM$ с коэффициентом $2 3$ , то есть $2 C1A1 = 3KM$ . А вот $△BKM ∼ △BAC$ с коэффициентом $1 2$ (т.к. $KM$ – средняя линия), то есть $1 KM = 2AC$ .

Следовательно, $C1A1 = 2KM = 2 ⋅ 1AC = 1AC 3 3 2 3$ .

Аналогично доказывается, что $1 A1B1 = 3AB$ , $1 B1C1 = 3BC$ .

3) Таким образом, все ребра тетраэдра $A1B1C1D1$ в три раза меньше соответствующих ребер тетраэдра $ABCD$ , а это значит, что каждая грань тетраэдра $A1B1C1D1$ подобна с коэффициентом $1 3$ соответствующей грани тетраэдра $ABCD$ .

4) Т.к. площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия, то площадь каждой грани тетраэдра $A1B1C1D1$ равна $19$ от площади соответствующей грани тетраэдра $ABCD$ . Следовательно,

1 1 SA1B1C1D1 = --SABCD = -⋅ 9 = 1. 9 9