Задача к ЕГЭ на тему «Нахождение объема или площади поверхности» №3

Просмотров 6 Комментарии 0

Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, высота которой равна $H$ , а величина плоского угла при вершине равна $α$ . Вычислите эту площадь, если $H = 3$ , $α = 30∘$ .

Способ 1.

1) Рассмотрим правильную пирамиду $SABCD$ , $SO = H$ – высота (которая падает в точку пересечения диагоналей основания), $∠CSD = α$ .
Напомним, что у правильной пирамиды все боковые грани представляют собой равные равнобедренные треугольники.

$PIC$

Введем вспомогательный угол между боковым ребром и основанием: $∠SOD = ϕ$ .

Тогда $sin ϕ = SO-- SD$ , следовательно, $SD = -H---= SC sin ϕ$ .

Тогда, т.к. площадь треугольника равна полупроизведению сторон на синус угла между ними,

1 2H2 ⋅ sin α S бок.пов. = 4 ⋅-SD ⋅ SC ⋅ sinα = -----2----- 2 sin ϕ

2) Теперь необходимо выразить $sin ϕ$ через данные в условии величины.

Проведем $SK$ – медиану и высоту в равнобедренном $△SCD$ . Тогда

α- DK-- -CD-- sin ∠DSK = sin 2 = SD = 2SD (1)

$√ -- BD = 2 ⋅ CD$ как диагональ квадрата, следовательно, $√- OD = -2-CD 2$ . В $△SOD$ :

cos ϕ = OD-- = √CD---- (2) SD 2SD

Разделим равенство $(1)$ на равенство $(2)$ и получим:

α- sin 2 1 √ -- α cos-ϕ-= √--- ⇒ cosϕ = 2sin-2 2

Тогда $2 2 2 α- sin ϕ = 1 − cos ϕ = 1 − 2sin 2 = cosα$ .

3) Таким образом,

2H2--sin-α- 2 S бок.пов. = cos α = 2H ⋅ tgα.

4) Подставляя значения из условия, находим, что

√ -- S бок.пов. = 6 3.

Способ 2.

Пусть длина квадрата основания равна $a$ . Тогда $√ -- BD = AC = 2a,$ а $√ -- 2 OD = OC = ---a. 2$ Выразим квадраты длин $SD$ и $SC$ по теореме Пифагора для треугольника $SOD :$ $2 2 2 2 SC = SD = 0, 5a + H .$ Запишем теорему косинусов для $△SDC$ , выразив квадрат стороны $CD.$