Задача к ЕГЭ на тему «Нахождение объема или площади поверхности» №1

Просмотров 5 Комментарии 0

Параллельно оси цилиндра проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу, градусная мера которой равна $α.$ Диагональ сечения наклонена под углом $β$ к основанию цилиндра.

а) Найдите объем цилиндра, если высота цилиндра равна $H.$

б) Вычислите объем цилиндра, если $H = √2-, 3π$ $α = 60∘,$ $β = 30∘.$

а) Сечение цилиндра данной плоскостью — это прямоугольник $ABCD,$ где $AB = CD =H.$ Дуга $A⌣D= α,$ следовательно, центральный угол $∠AOD =α.$

Объем цилиндра равен

2 V = πR ⋅H

Здесь $R = AO,$ следовательно, необходимо найти $R2.$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD.$ В нем имеем:

AD ctgβ = CD ⇒ AD = CD ⋅ctgβ = H ⋅ctgβ

$PIC$

Заметим, что $△AOD$ — равнобедренный. Тогда по теореме косинусов

AD2 = AO2 + DO2 − 2⋅AO ⋅DO ⋅cosα

Тогда имеем:

2 2 2 -H2ctg2β-- (Hctgβ) = 2R (1− cosα) ⇒ R = 2(1− cosα)

Следовательно, объем цилиндра равен

V = -πH3ctg2β- 2(1− cosα )

б) Подставляя значения из условия, получаем:

√- V = π⋅(8π ⋅(-3))2= 24 2 1− 12

Нахождение объема или площади поверхности