Задача к ЕГЭ на тему «Метод xOa (параметр как вторая неизвестная)» №1

Найти все значения $a$ , при каждом из которых уравнение

|log x2 − a| − |log x + 2a| = (log x)2 0,5 0,5 0,5

имеет хотя бы один корень, меньший $2$ .

1) ОДЗ данного уравнения: $x > 0 » class=»math» width=»auto»>. Следовательно, на ОДЗ верно: <img decoding=$ . Сделаем замену $log0,5x = t$ . Тогда если уравнение относительно $x$ должно иметь хотя бы один корень, меньший 2, то относительно $t$ уравнение должно иметь хотя бы один корень, больший $− 1$ .
Действительно, $log0,5 x = − log2x$ , следовательно, если $x < 2$ , то $log2x < log2 2$ (потому как функция $y = log2 x$ возрастает), значит, $− log2x > − log2 2 = − 1 » class=»math» width=»auto»>. </p> <p class=$

Таким образом, нужно, чтобы уравнение

2 |2t − a| − |t + 2a | = t (∗)

имело хотя бы один корень, больший $− 1$ .

2) Каждый модуль может раскрыться одним из двух способов: либо положительно, либо отрицательно. Значит, два модуля могут раскрыться одним из четырех способов. Рассмотрим все эти четыре случая:

I) $2t − a ≥ 0$ и $t + 2a ≥ 0$ . Тогда $|2t − a | = 2t − a, |t + 2a| = t + 2a$ . Тогда уравнение примет вид:

2 1 ( 2 ) 2t − a − t − 2a = t ⇔ a = − -- t − t 3

Рассмотрим прямоугольную систему координат ( $t$ на месте оси абсцисс, $a$ на месте оси ординат). Область, соответствующая $2t − a ≥ 0 ⇒ a ≤ 2t$ , — это часть плоскости, находящая не выше прямой $a = 2t$ . Аналогично область для $t + 2a ≥ 0$ — это часть плоскости, находящаяся не ниже прямой $a = − 12t$ .

Тогда графиком данного уравнения $(∗ )$ в $I$ -ом случае является часть параболы, входящая в данную область:

$PIC$

(Парабола пересекает прямую $a = − 12t$ в точках $(0;0 )$ и $(2,5;− 1,25)$ .)

II) $2t − a < 0$ и $t + 2a > 0 » class=»math» width=»auto»>. Парабола <img decoding=$ .

III) $2t − a < 0$ и $t + 2a < 0$ . Парабола $1 2 a = 3 (t + t)$ .

IV) $2t − a > 0 » class=»math» width=»auto»> и <img decoding=$ . Парабола $a = t2 − 3t$ .

Аналогично рассматривая оставшиеся три случая, получим график всего уравнения $(∗)$ :

$PIC$

Проведем прямую $t = − 1$ . Необходимо найти такие значения $a 0$ , чтобы уравнение имело хотя бы один корень $t0 > − 1 » class=»math» width=»auto»>. Это значит, что прямая <img decoding=$ должна пересечь график уравнения в хотя бы одной точке $(t0;a0)$ с $t0 > − 1 » class=»math» width=»auto»>. </p> <p class=$

Для этого проведем прямую $t = − 1$ . Тогда прямая $a = a0$ должна находиться ниже положения, когда она проходит через точку $C$ , и не ниже положения, когда она проходит через точку $D$ (потому как если она будет ниже точки $D$ , то точек пересечения вообще не будет; если она будет проходить через $C$ или выше, то не будет точек с $t0 > − 1 » class=»math» width=»auto»>). Таким образом, <img decoding=$ .