Задача к ЕГЭ на тему «Метод рационализации» №18

Просмотров 6 Комментарии 0

Решите неравенство

( 1) x ⋅log1 4− 3⋅3x > 1 3 » class=»math-display» src=»/images/math/quest/quest-2337-1.svg» width=»auto»></div> </div> <p><button class=Показать ответ

Найдем ОДЗ неравенства:

1 1 4 − 3 ⋅ 3x > 0 ⇔ 3 x < 4- ⇔ 3 1x log3(43) 1- 4- ⇔ 3 < 3 ⇔ x < log33 ⇔ 1 − x ⋅ log 4 x − log43 ⇔ ----------33-< 0 ⇔ -------3--> 0 ⇔ x x ( ) ⇔ x ∈ (− ∞; 0) ∪ log 43;+ ∞ 3 » class=»math-display» width=»auto»></center> Решим неравенство на ОДЗ. Его можно преобразовать так: <center class= ( ( ) ) ( ( ) ) x ⋅ − log 4 − 3 ⋅ 31x − 1- > 0 ⇔ x ⋅ log 4 − 3 ⋅ 3 1x + log 3 1x < 0 3 x 3 3
Так как logab + logac = loga(bc) , то
( 1 ( 1)2) x ⋅ log3 4 ⋅ 3x − 3 ⋅ 3 x < 0
По методу рационализации на ОДЗ данное неравенство равносильно
( 1 ( 1)2 ) ( 1 ( 1 )2 ) x ⋅ (3 − 1) ⋅ 4 ⋅ 3x − 3 ⋅ 3x − 1 < 0 ⇔ x ⋅ 4 ⋅ 3x − 3 ⋅ 3x − 1 < 0
Найдем нули скобки. Сделаем замену 1 3x = t , тогда скобка примет вид 4t − 3t2 − 1 . Чтобы найти ее нули, нужно решить уравнение 4t − 3t2 − 1 = 0 . Его корни: t1 = 1 , t2 = 1 3 . Следовательно, выражение 2 4t − 3t − 1 можно переписать в виде ( 1) − 3(t − 1) t − 3 . Значит, наше неравенство примет вид
( 1 ) ( 1 1) ( 1 ) ( 1 ) x ⋅ (− 3) ⋅ 3 x − 1 ⋅ 3 x − -- < 0 ⇔ x ⋅ 3 x − 30 ⋅ 3 x − 3−1 > 0 3 » class=»math-display» width=»auto»></center> По методу рационализации данное неравенство преобразуется в неравенство <center class= ( ) ( ) 1- 1- x-(x +-1) x ⋅ (3 − 1) ⋅ x − 0 ⋅ (3 − 1) ⋅ x − (− 1) > 0 ⇔ x2 > 0 » class=»math-display» width=»auto»></center> Решая полученное неравенство методом интервалов, получим ответ<br class=x ∈ (− ∞; − 1) ∪ (0; +∞ ) .
Пересечем данный ответ с ОДЗ и получим итоговый ответ
( ) x ∈ (− ∞; − 1) ∪ log 43;+ ∞ 3

Метод рационализации
Оцените статью
Я решу все!
© 2025 Я решу все!