Задача к ЕГЭ на тему «Метод рационализации» №13

Просмотров 5 Комментарии 0

Решите неравенство

2 ------1------ --------1-------- log(x+11)(x + 3 ) ≥ − log √x-+--11-+ log 2 (x + 11) x (x− 1)

ОДЗ:

( || x + 11 > 0 |||| ||| x + 11 ⁄= 1 ||| x2 + 3 > 0 |||| x > 0 { { x > 1 x ⁄= 1 ⇔ √ — |||| √x-+—11 > 0 x ⁄= 2 ||| √——- ||| x + 11 ⁄= 1 |||| x2 − 1 > 0 ||( 2 x − 1 ⁄= 1 » class=»math-display» width=»auto»></center> </p> <p class= На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

log (x2 + 3) ≥ − log √----x + log (x2 − 1) ⇔ (x+11) x+11 (x+11) ⇔ log(x+11)(x2 + 3) − log (x+11)(x2 − 1) + log√x+11-x ≥ 0 ⇔ 2 2 ⇔ log(x+11) x-+--3-+ log √x+11x ≥ 0 ⇔ log (x+11) x-+-3-+ 2log|x+11|x ≥ 0 ⇔ x2 − 1 x2 − 1 x2 + 3 2 x2(x2 + 3) ⇔ log(x+11) -2-----+ log (x+11)x ≥ 0 ⇔ log (x+11)---2------ ≥ 0 x − 1 x − 1

По методу рационализации: на ОДЗ

( ) x2(x2 +-3) x2(x2-+-3) log(x+11) x2 − 1 ≥ 0 ⇔ (x + 11 − 1) x2 − 1 − 1 ≥ 0 ⇔ 4 2 ⇔ (x + 10 ) ⋅ x-+-2x-+-1-≥ 0. x2 − 1

x4 + 2x2 + 1 = (x2 + 1)2 ≥ 0
Тогда

⌊ x4 + 2x2 + 1 x-+-10-≥ 0 (x + 10) ⋅-------------≥ 0 ⇔ ⌈ x2 − 1 x2 − 1 x2 + 1 = 0

Так как при x > 1 » class=»math» width=»auto»>, <img decoding= выражение x-+-10- x2 − 1 положительно, то множество решений исходного неравенства совпадает с ОДЗ.

Метод рационализации
Оцените статью
Я решу все!
© 2025 Я решу все!