Задача к ЕГЭ на тему «Метод площадей» №6

Просмотров 5 Комментарии 0

На сторонах $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно так, что $AM :MC =4 :5,$ $BN :BC =0,25.$ Отрезки $BM$ и $AN$ пересекаются в точке $P.$ Найдите площадь треугольника $AP M,$ если площадь треугольника $ABC$ равна 63.

Из условия задачи следует, что $BN = 1BC 4$ .

Обозначим $S △ABC =S.$ Так как $△ABC$ и $△ABN$ имеют одинаковую высоту, опущенную из вершины $A,$ то

S BC 1 S△ABN- = BN-= 4 ⇒ S△ABN = 4S

Аналогично рассуждая, получим

---S--- -AC- 9 4 S△ABM = AM = 4 ⇒ S△ABM = 9S

Найдем отношение $AP :PN,$ чтобы определить, какую часть составляет $S△ABP$ от $S △ABN.$

$PIC$

Проведем прямую $NK ∥BM.$ Тогда по обобщенной теореме Фалеса

BN-- MK-- 1 MK-- 1 BC = MC ⇒ 4 = MC ⇒ MK = 4MC

Так как по условию $AM :MC = 4 :5,$ то можно принять $AM = 4x,$ $MC =5x.$ Тогда $5 MK = 4x.$

По обобщенной теореме Фалеса имеем:

-AP = AM-- ⇒ -AP = 45x-= 16 ⇒ AP = 16PN P N MK P N 4x 5 5

Так как $△ABP$ и $△ABN$ имеют одинаковую высоту, опущенную из вершины $B,$ то получаем

S△ABN-= AN- = AP-+-PN-= 21 S△ABP AP AP 16

Следовательно,

16 4 S△ABP = 21S△ABN = 21-S

Тогда окончательно имеем:

S △APM = S△ABM − S△ABP = 4S − 4-S = 16S ⇒ S△APM =16 9 21 63

Метод площадей