Задача к ЕГЭ на тему «Метод площадей» №5

Просмотров 7 Комментарии 0

Внутри равностороннего треугольника со стороной $m$ движется точка. Докажите, что сумма расстояний от этой точки до сторон треугольника не меняется, и найдите эту сумму.

Рассмотрим равносторонний $△ABC,$ $AB = m,$ $O$ – точка внутри треугольника, $OA1, OB1, OC1$ — перпендикуляры на стороны $BC, AC, AB$ соответственно.

$PIC$

Рассмотрим $△AOB, △BOC, △COA.$ Их площади равны $0,5m ⋅OC1; 0,5m ⋅OA1; 0,5m ⋅OB1$ соответственно. Тогда сумма их площадей равна площади всего $△ABC,$ следовательно:

√- √ - -3- 2 --3 0,5m ⋅(OC1+ OA1 + OB1)= S△ABC = 4 m ⇔ OC1 +OA1 + OB1 = 2 m

Таким образом, мы доказали, что для фиксированного равностороннего треугольника сумма постоянна, а также нашли ее.