Задача к ЕГЭ на тему «Метод площадей» №4

Просмотров 5 Комментарии 0

Точки $M,$ $N,$ $P$ лежат на сторонах $AB,$ $BC,$ $CA$ треугольника $ABC,$ причем $AM :AB = BN :BC = CP :CA = 1:3.$ При пересечении отрезков $AN,$ $BP,$ $CM$ образуется треугольник $A1B1C1,$ площадь которого равна 1. Найдите площадь треугольника $ABC.$

Найдем часть, которую составляет $SMAA 1$ от $SABC.$ Для этого найдем, в каком отношении отрезок $AN$ делится отрезком $CM.$ Проведем $NN1 ∥CM.$ Тогда по обобщенной теореме Фалеса $N1$ делит отрезок $BM$ в том же отношении, что $N$ делит отрезок $BC.$

Следовательно, получаем

1 1 2 2 BN1 = 3BM = 3 ⋅3AB = 9AB

Также по условию $1 AM = 3AB.$ Тогда имеем:

AA1- = AM--= ---13AB---= 3 AN AN1 AB − 29AB 7

Следовательно, так как треугольники $MAA1$ и $BAN$ имеют общий угол $A,$ то их площади относятся как произведения сторон, образующих этот угол:

S△MAA1- = AM-⋅AA1-= 13AB-⋅ 37AN-= 1 S△BAN AB ⋅AN AB ⋅AN 7

$PIC$

Таким образом, $S△MAA1 = 1S△BAN. 7$ Но в свою очередь $△BAN$ и $△ABC$ имеют одинаковую высоту, проведенную из вершины $A.$ Значит, их площади относятся как основания, то есть