Задача к ЕГЭ на тему «Метод площадей» №3

Просмотров 5 Комментарии 0

Точки $M,$ $N,$ $P$ лежат на сторонах $AB,$ $BC,$ $CA$ соответственно треугольника $ABC,$ причем $AM :AB =BN :BC = CP :CA = 1 :3.$ Площадь треугольника $MNP$ равна 15. Найдите площадь треугольника $ABC.$

$△ ABC$ и $△MBN$ имеют общий угол $B,$ при этом $BM = 23BA,$ $BN = 13BC.$

$PIC$

Так как площади треугольников, имеющих общих угол, относятся как произведения сторон, образующих этот угол, то

2 1 SMBN- = 3BA-⋅3BC--= 2 ⇒ SMBN = 2SABC. SABC BA ⋅BC 9 9

Аналогично рассуждая, получаем, что

2 SMAP = SPCN = 9SABC.

Следовательно,

15+ 3⋅ 2S = S ⇒ S = 3⋅15= 45. 9 ABC ABC ABC

Метод площадей