Задача к ЕГЭ на тему «Метод площадей» №2

Просмотров 5 Комментарии 0

В треугольнике со сторонами a,b,c радиус вписанной окружности равен r = a+b2−-c . Докажите, что треугольник является прямоугольным.

Как известно, площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности. С другой стороны, площадь можно найти по формуле Герона. Следовательно:

∘ ---------------------- 2 S = p (p − a )(p − b)(p − c) = p ⋅ r ⇒ (p − a)(p − b)(p − c) = p ⋅ r

 

Т.к. a + b + c p = --------- 2 , a + b − c r = --------- 2 , то

 

a + b − c a + c − b b + c − a a + b + c (a + b − c)2 ---------⋅ ---------⋅--------- = --------- ⋅------------ ⇒ 2 2 2 2 4

 

⇒ (c + (a − b))(c − (a − b)) = ((a + b) + c)((a + b) − c) ⇒ c2 − (a − b)2 = (a + b)2 − c2

 

2 2 2 2 2 2 2 2 2 ⇒ c − a + 2ab − b = a + 2ab + b − c ⇒ c = a + b

 

Таким образом, по обратной теореме Пифагора треугольник будет прямоугольным, причем прямой угол находится против стороны c .

Метод площадей
Оцените статью
Я решу все!
© 2025 Я решу все!