Задача к ЕГЭ на тему «Метод площадей» №1

Просмотров 5 Комментарии 0

Дана трапеция $ABCD,$ ее основания $BC$ и $AD$ равны 2 и 6 соответственно. Диагонали $BD$ и $AC$ пересекаются в точке $O.$ Точка $P$ — середина $OD.$ Найдите площадь четырехугольника $ABCP,$ если $S△ABO = 9.$

Пусть $S△BOC = x.$ Заметим, что $△ BCO ∼ △AOD$ по двум углам, так как $BC ∥ AD,$ $∠BCA =∠CAD$ как накрест лежащие и $∠BOC = ∠AOD$ как вертикальные.

$PIC$

Следовательно, запишем отношение подобия:

BO- = CO-= BC- = 2 = 1 OD OA AD 6 3

Тогда для треугольников с общей высотой из вершины $B$ имеем:

S△ABO AO 3 S△BCO- = OC-= 1 ⇒ S△ABO = 3x

Аналогично получаем

S = 3x △CDO

Для треугольников с общей высотой из вершины $C$ имеем:

S△COP OP 1 S△CPD- = PD-= 1 S△COP = S△CPD = 1,5x

$PIC$

Площади подобных треугольников относятся как коэффициент подобия в квадрате, следовательно,

( )2 -S△BOC = 1 = 1 ⇒ S △ADO = 9x S △AOD 3 9 S△APO = 4,5x ⇒ SABCP = 10x

Так как по условию $S△ABO = 9,$ то окончательно имеем:

3x= 9 ⇒ x = 3, SABCP = 30

Метод площадей