Задача к ЕГЭ на тему «Логарифмические неравенства с переменным основанием» №5

Просмотров 7 Комментарии 0

Решите неравенство

2 2 (x-−-3)-- logx2+1 (x − 3) ⋅ logx2+1 (x2 + 1)3 ≤ − 2

(Задача от подписчиков)

Найдем ОДЗ неравенства:

( || x2 + 1 > 0 ||| 2 { { x + 1 ⁄= 1 x ⁄= 0 | (x − 3)2 > 0 ⇔ x ⁄= 3 ||| (x − 3)2 |( —2—-3-> 0 (x + 1) » class=»math-display» width=»auto»></center> Таким образом, ОДЗ неравенства: <img decoding=
Решим неравенство на ОДЗ:
log 2 (x − 3)2 ⋅ (log 2 (x − 3)2 − log 2 (x2 + 1)3) ≤ − 2 x +1 x +1 x +1
Сделаем замену t = logx2+1(x − 3)2 , тогда неравенство примет вид:
t(t − 3) ≤ − 2 ⇔ (t − 1)(t − 2 ) ≤ 0 ⇔ 1 ≤ t ≤ 2
Сделаем обратную подстановку:
{ { logx2+1(x − 3)2 ≥ 1 logx2+1 (x − 3)2 ≥ logx2+1 (x2 + 1 ) log 2 (x − 3)2 ≤ 2 ⇔ log 2 (x − 3)2 ≤ log 2 (x2 + 1 )2 x +1 x +1 x +1

Заметим, что так как на ОДЗ 2 x > 0 » class=»math» width=»auto»>, то <img decoding= ( ( { 2 2 |{ x ≤ 4- |{ x ≤ 4- (x − 3) ≥ x + 1 ⇔ 3 ⇔ 3 (x − 3)2 ≤ (x2 + 1 )2 |( 2 2 |( 2 (x − 3 − x − 1)(x − 3 + x + 1) ≤ 0 (x − x + 4)(x + 2)(x − 1) ≥ 0

Решая второе неравенство методом интервалов, получим x ∈ (− ∞; − 2] ∪ [1;+ ∞ )
После пересечения данного множества с 4 x ≤ 3 и с ОДЗ получим окончательный ответ [ 4] x ∈ (− ∞; − 2] ∪ 1; 3

Логарифмические неравенства с переменным основанием
Оцените статью
Я решу все!
© 2025 Я решу все!