Задача к ЕГЭ на тему «Логарифмические неравенства с переменным основанием» №4

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите все такие x ∈ ℝ , которые являются решениями неравенства

log e + log e + ...+ log e ≥ 0 x (x+1) (x+N)

при любых N ∈ ℕ.

Зафиксируем произвольное N ∈ ℕ .

ОДЗ:

( || x > 0 ||| ||| x ⁄= 1 |||{ x + 1 > 0 { x > 0 | x + 1 ⁄= 1 ⇔ x ⁄= 1 |||| … ||| ||| x + N > 0 ( x + N ⁄= 1 » class=»math-display» width=»auto»></center> </p> <p class= На ОДЗ:

1 1 1 logx e + log(x+1)e + ...+ log(x+N )e ≥ 0 ⇔ ----+ ---------+ ...+ ---------- ≥ 0. lnx ln (x + 1) ln(x + N )

Рассмотрим отдельно случаи x ∈ (0;1 ) и x ∈ (1;+∞ ) .
 
1) x ∈ (1;+ ∞ ) , тогда

ln x > 0, ln(x + 1) > 0, …, ln(x + N ) > 0, » class=»math-display» width=»auto»></center> следовательно, <center class= 1 1 1 ----+ ---------+ ...+ ---------- > 0. lnx ln (x + 1) ln(x + N ) » class=»math-display» width=»auto»></center> Таким образом, все <img decoding= идут в ответ.
 
2) 0 < x < 1 .
Так как искомые x должны удовлетворять исходному неравенству при любых N ∈ ℕ , то они должны удовлетворять ему и при N = 1 . Рассмотрим этот случай отдельно:

-1-- ----1---- lnx + ln(x + 1) ≥ 0

Так как 0 < x < 1 , то ln x < 0 , а ln(x + 1) > 0 » class=»math» width=»auto»>, следовательно, последнее неравенство равносильно неравенству </p> <p class=

ln(x + 1) + ln x ≤ 0 ⇔ ln (x (x + 1)) ≤ ln 1 ⇔ x (x + 1) ≤ 1 ⇔ ⇔ x2 + x − 1 ≤ 0

По методу интервалов на (0;1) :
 
PIC
 
Таким образом, x ∈ (0; √5-−-1-] 2 .

 

Для всякого N ∈ ℕ , N > 1 » class=»math» width=»auto»> при <img decoding=:

-1-- ---1----- ---1----- ----1----- lnx + ln (x + 1 ) ≥ 0, ln(x + 2) > 0, …, ln (x + N ) > 0, » class=»math-display» width=»auto»></center> следовательно, <center class= 1 1 1 ----+ ---------+ ...+ ---------- ≥ 0, lnx ln (x + 1) ln(x + N )
то есть ( ] √ -- x ∈ 0;--5-−-1 2 идут в ответ.

 

Так как мы рассмотрели все x из ОДЗ, то других решений быть не может и окончательный ответ:

( √ -- ] x ∈ 0;--5-−-1 ∪ (1;+ ∞ ). 2

Логарифмические неравенства с переменным основанием
Оцените статью
Я решу все!
© 2025 Я решу все!