Задача к ЕГЭ на тему «Логарифмические неравенства с переменным основанием» №13

Просмотров 5 Комментарии 0

Решите неравенство

−1 2 logx(2x--)-⋅ logx-(2x-) log2xx ⋅ log2x−2 x < 40

Выпишем ОДЗ всех логарифмов:

( || x > 0 ||| ||| x ⁄= 1 ( ) ( ) { 2x −1 > 0 1- 1- √ — √ — | 2×2 > 0 ⇔ x ∈ 0;2 ∪ 2;1 ∪ (1; 2) ∪ ( 2;+ ∞ ) ||| |||| 2x ⁄= 1 ( 2x −2 ⁄= 1 » class=»math-display» width=»auto»></center> </p> <p class= Решим неравенство на ОДЗ. В числителе оба логарифма распишем по формуле loga (bc) = loga b + logac , а в знаменателе – по формуле loga b = --1--- logb a , а затем по первой формуле:

(logx 2 + logx x− 1) ⋅ (logx 2 + logxx2) (logx2 − 1)(logx2 + 2) --------1----------------1----------< 40 ⇒ -----1----------1------< 40 --------------⋅--------------−2 ----------⋅---------- logx 2 + logx x logx 2 + logx x logx 2 + 1 logx2 − 2
Сделаем замену: log 2 = t x . Тогда неравенство примет вид:
(t − 1)(t + 1)(t − 2)(t + 2) < 40 ⇒ (t2 − 1)(t2 − 4) < 40 ⇒ t4 − 5t2 − 36 < 0
Сделаем еще одну замену: t2 = z . Тогда неравенство станет квадратичным:
z2 − 5z − 36 < 0 ⇒ (z + 4)(z − 9) < 0
Подставим вместо 2 z = t :
2 (t + 4)(t − 3)(t + 3) < 0
Решим полученное неравенство методом интервалов и получим ответ:
t ∈ (− 3;3)
Сделаем обратную замену:
( { { 3 |{ logx(2x3) > 0 logx2 > − 3 ⇒ logx 2 + logx x > 0 ⇒ ( ) logx2 < 3 logx 2 − logx x3 < 0 |( logx -2- < 0 x3
Каждое неравенство можно решить методом рационализации:
( 3 ( |{ (x − 1)(2x − 1) > 0 |{ (x − 1)(2×3 − 1) > 0 ( 2 ) ⇒ 3 |( (x − 1) —− 1 < 0 |( (x − 1) ⋅ 2 −-x-< 0 x3 x3
Решая каждое неравенство методом интервалов, получим:
( ( ) | -1-- ( ) { x ∈ − ∞; 3√ -- ∪ (1;+ ∞ ) -1-- √3-- | √2-- ⇔ x ∈ 0;3√2-- ∪ ( 2;+ ∞ ) ( x ∈ (0;1) ∪ ( 32;+ ∞ )
Теперь осталось пересечь полученный ответ с ОДЗ:
( ) ( ) (√ --√ -) √ -- x ∈ 0; 1 ∪ 1;√1-- ∪ 32; 2 ∪ ( 2;+ ∞ ) 2 2 32

Логарифмические неравенства с переменным основанием
Оцените статью
Я решу все!
© 2025 Я решу все!