Задача к ЕГЭ на тему «Логарифмические неравенства с переменным основанием» №11

Решите неравенство

   2 logx3+ 5log|x|3 +6 > 0 » class=»math-display» src=»/images/math/quest/quest-1635-1.svg» width=»auto»></div>
</div>
<p><button class=Показать ответ

Найдем ОДЗ неравенства:

{  x > 0  x ⁄= 1 » class=»math-display» src=»/images/math/answer/answer-1635-1.svg» width=»auto»></div>
<p class= На ОДЗ исходное неравенство равносильно неравенству

log2x3+ 5logx3+ 6> 0 » class=»math-display» src=»/images/math/answer/answer-1635-2.svg» width=»auto»></div>
<p class= Сделаем замену logx3 =t :

t2+ 5t+ 6> 0  ⇔   (t+ 2)(t+ 3) >0 » class=»math-display» src=»/images/math/answer/answer-1635-4.svg» width=»auto»></div>
<p class= По методу интервалов находим t∈ (−∞;− 3)∪(−2;+∞ ).  Отсюда получаем

[logx3< −3       ⌊logx 3< logxx−3  (1)              ⇔   ⌈           −2  logx3> −2        logx 3> logxx    (2) » class=»math-display» src=»/images/math/answer/answer-1635-6.svg» width=»auto»></div>
<p class= Решим неравенство (1) с учетом того, что     1 0< √33-< 1 :

⌊(                 ⌊(| x> 1  { x> 1            |{ ( 3√-   )( 2 3√    3√-   ) ||( 3< x−3          |||( -x-3−-1--x--9-+x--3+-1--<0 |||             ⇔    |||            x3 ||({ 0< x< 1         ||(|{ 0< x< 1 ⌈      −3          |⌈  ( 3√-   )( 2 3√    3√-   )  ( 3> x             |( -x-3−-1—x-39-+x—3+-1—>0 ⌊(                              x  |{ x> 1 ||         1 |||( 0< x< -3√3 |||(                      (-1-  ) ||||| 0< x< 1       ⇔   x∈  √33-;1 ||{ ⌊x< 0 |⌈||| ⌈    1  (  x> √33- » class=»math-display» src=»/images/math/answer/answer-1635-8.svg» width=»auto»></div>
<p class= Здесь неравенства второй совокупности решаются методом интервалов.

Решим неравенство (2) с учетом того, что 0< √1-< 1:      3

⌊(                 ⌊(|  { x> 1            |{ x(>√1   )( √ —   ) ||( 3> x−2          |||( -x-3-− 1-x—3+-1-> 0 |||              ⇔   |||         x2 ||({ 0< x < 1        ||(|{ 0< x < 1 ⌈                  |⌈  ( √-   )( √ -   )  ( 3< x−2           |( -x-3-− 1-x--3+-1-< 0 ⌊(                           x2  || x> 1 |||||{ ⌊      1 ||  |x <− √3- ||||||| |⌈    1 |||(  x > √3-                 (    ) ||(                  ⇔   x ∈  0; 1√- ∪ (1;+∞ ) ||||| 0< x < 1                     3 ||||{ ⌊   1-- |||| || − √3 <x < 0 ⌈||||( ⌈       -1-     0< x < √3

Здесь неравенства второй совокупности решаются методом интервалов.

Объединив решения неравенств (1) и (2), окончательно получим

   (   1 )  (  1  ) x ∈  0;√3-  ∪  3√3-;1  ∪(1;+∞ )
Оцените статью
Я решу все!