Задача к ЕГЭ на тему «Логарифмические неравенства с переменным основанием» №10

Просмотров 5 Комментарии 0

Решите неравенство

log 10 > log 10 x (x+0,5) » class=»math-display» width=»auto»></center> </div> <p><button class=Показать ответ

ОДЗ:

( || x > 0 ( |{ |{ x > 0 x ⁄= 1 ⇔ x ⁄= 1 ||| x + 0,5 > 0 |( ( x + 0,5 ⁄= 1 x ⁄= 0,5 » class=»math-display» width=»auto»></center> </p> <p class= На ОДЗ:

log 10 > log 10 ⇔ -1—> —-1——. x (x+0,5) lg x lg(x + 0,5) » class=»math-display» width=»auto»></center> </p> <p class= Рассмотрим отдельно случаи x ∈ (0;0, 5) , x ∈ (0,5; 1) и x ∈ (1;+ ∞ ) .
 
1) x ∈ (0;0,5) , тогда

lg x < 0, lg (x + 0, 5) < 0,
следовательно,

-1-- > ——1—— ⇔ lg(x + 0,5 ) > lg x ⇔ lg x-+-0,5-> lg1 ⇔ lgx lg(x + 0,5) x x + 0,5 ⇔ ———> 1 ⇔ x + 0, 5 > x ⇔ 0, 5 > 0 x » class=»math-display» width=»auto»></center> </p> <p class= Таким образом, все x ∈ (0; 0,5) идут в ответ.
 
2) x ∈ (0,5;1) , тогда

lg x < 0, lg (x + 0, 5) > 0, » class=»math-display» width=»auto»></center> следовательно, </p> <p class=

-1--< 0 < -----1----- lgx lg(x + 0,5)

Таким образом, среди x ∈ (0,5;1) решений нет.
 
3) x ∈ (1;+ ∞ ) , тогда

lg x > 0, lg (x + 0, 5) > 0, » class=»math-display» width=»auto»></center> следовательно, </p> <p class=

-1-- > ——1—— ⇔ lg(x + 0,5 ) > lg x ⇔ lg x-+-0,5-> lg1 ⇔ lgx lg(x + 0,5) x x + 0,5 ⇔ ———> 1 ⇔ x + 0, 5 > x ⇔ 0, 5 > 0 x » class=»math-display» width=»auto»></center> </p> <p class= Таким образом, все x ∈ (1; +∞ ) идут в ответ.

 

Так как мы рассмотрели все x из ОДЗ, то других решений быть не может и окончательный ответ:

x ∈ (0;0,5) ∪ (1; +∞ ).

Логарифмические неравенства с переменным основанием
Оцените статью
Я решу все!
© 2025 Я решу все!