Задача к ЕГЭ на тему «Логарифмические неравенства с числовым основанием» №7

Решите неравенство

log (xeπ) + 2016 > log (xπe ) + 2016    2                  2  » class=»math-display» width=»auto»></center>                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       </div>
<p><button class=Показать ответ

ОДЗ:

{   xeπ > 0     e            ⇔      x > 0.   xπ  > 0 » class=»math-display» width=»auto»></center> </p>
<p class= При x > 0  » class=»math» width=»auto»>:<br class=исходное неравенство равносильно неравенству

  π      e xe  > xπ  , » class=»math-display» width=»auto»></center> </p>
<p class= что при x >  0  » class=»math» width=»auto»> равносильно неравенству </p>
<p>    <center class= eπ > πe.  » class=»math-display» width=»auto»></center> Так как <img decoding=                                                      ln e    ln π ln(eπ) > ln (πe )     ⇔      π ln e > eln π     ⇔       —->  —,                                                       e      π  » class=»math-display» width=»auto»></center> <span class=то есть осталось сравнить значение функции         lnx f (x) = ----          x  в точках e  и π  .
         1 f ′(x) =  x ⋅-x −-1 ⋅ ln-x-= 1-−-ln-x.               x2            x2

При x > e  » class=»math» width=»auto»>: <img decoding=, следовательно, на (e;+ ∞  )  функция f (x)  убывает (при этом x = e  – точка локального максимума функции f  ), следовательно,

                         ln-e-  ln-π              π    e f (e) > f (π)    ⇒        e  >   π      ⇒       e >  π ,  » class=»math-display» width=»auto»></center> то есть исходное неравенство (с учётом ОДЗ) выполнено при    <center class= x > 0.  » class=»math-display» width=»auto»></center>                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       </div>
</p>    </div><!-- .entry-content -->

</article>




<div class=
Оцените статью
Я решу все!