Задача к ЕГЭ на тему «Логарифмические неравенства с числовым основанием» №5

Просмотров 6 Комментарии 0

Решите неравенство

log3(x2 + x + 0,5) + 3log (x2 + x + 0,5)π + 4e > 0 4 4 » class=»math-display» width=»auto»></center> </div> <p><button class=Показать ответ

ОДЗ:

x2 + x + 0,5 > 0 » class=»math-display» width=»auto»></center> </p> <p class= На ОДЗ:

3 log4(x2 + x + 0,5)π = 3π ⋅ log4 (x2 + x + 0, 5)

Сделаем замену log4(x2 + x + 0,5) = t :

3 t + 3πt + 4e > 0 » class=»math-display» width=»auto»></center> </p> <p class= Рассмотрим, какие значения может принимать t

t = log (x2 + x + 0,5) = log ((x + 0,5)2 + 0,25) ≥ log 0,25 = − 1 4 4 4

Покажем, что при всех t ≥ − 1 неравенство

3 t + 3πt + 4e > 0 » class=»math-display» width=»auto»></center> выполнено.<br class=Обозначим f (t) = t3 + 3πt + 4e , тогда
f′(t) = 3t2 + 3π > 0, » class=»math-display» width=»auto»></center> следовательно, <img decoding= – всюду возрастает, тогда при t ≥ − 1 выполнено
f (t) ≥ f (− 1 ) = − 1 − 3π + 4e > − 1 − 3 ⋅ 3,15 + 4 ⋅ 2,7 = 0,35 > 0 » class=»math-display» width=»auto»></center> </p> <p class= Таким образом, исходное неравенство выполнено при

x ∈ (− ∞; + ∞ ).

Логарифмические неравенства с числовым основанием
Оцените статью
Я решу все!
© 2025 Я решу все!