Задача к ЕГЭ на тему «Логарифмические неравенства с числовым основанием» №23

Просмотров 6 Комментарии 0

Решите неравенство

1 + -----4---- + -----------3-----------≥ 0 log5 x − 2 (log5x)2 − log55x4 + 5

ОДЗ логарифмов: $x > 0 » class=»math» width=»auto»>.<br class=$ На ОДЗ верно: $log55x4 = log5 5 + log5 x4 = 1 + 4log5|x| = 1 + 4log5x$ .
Сделаем замену $log x = t 5$ , тогда неравенство примет вид

4 3 t2 − 1 (t − 1)(t + 1) 1 + ----- + -2-------------- ≥ 0 ⇔ ------2-≥ 0 ⇔ ---------2---≥ 0 t − 2 t − (1 + 4t) + 5 (t − 2) (t − 2)

Решим полученное неравенство методом интервалов: $PIC$
Таким образом, возвращаясь к старой переменной, можем записать:

⌊ ( [ (| 1- |{ log5 x ≤ − 1 ||{ |x ≤ 5 log x ≥ 1 ⇔ ⌈ |( 5 || x ≥ 5 log5x ⁄= 2 |( x ⁄= 25

Пересекая полученный ответ с ОДЗ $x > 0 » class=»math» width=»auto»>, получаем окончательный ответ<br class=$ $( 1] x ∈ 0; 5 ∪ [5;25) ∪ (25;+∞ )$