Задача к ЕГЭ на тему «Логарифмические неравенства с числовым основанием» №21

Просмотров 7 Комментарии 0

Решите неравенство

log3 x − 3 + 0,25log2x2 − 4 log x ≥ 1 4 4 4

ОДЗ: $x > 0 » class=»math» width=»auto»>. </p> <p class=$ Исходное неравенство равносильно

3 2 log4 x + 0,25 ⋅ (2log4|x|) − 4 log4x − 4 ≥ 0

Так как на ОДЗ выполнено $|x| = x$ , то последнее неравенство равносильно неравенству

log34x + log24 x − 4log4x − 4 ≥ 0

Сделаем замену $t = log x 4$ :

3 2 t + t − 4t − 4 ≥ 0

В левой части последнего неравенства сгруппируем слагаемые (первое со вторым, третье с четвёртым):

t2(t + 1) − 4(t + 1 ) ≥ 0 ⇔ (t2 − 4)(t + 1 ) ≥ 0 ⇔ (t − 2)(t + 2)(t + 1) ≥ 0

По методу интервалов: $PIC$

откуда $t ∈ [− 2;− 1] ∪ [2;+ ∞ )$ .

Тогда

⌊ ⌊ [ 1-- 1- 1-- 1- − 2 ≤ log4x ≤ − 1 ⇔ ⌈log4 16 ≤ log4x ≤ log4 4 ⇔ ⌈ 16 ≤ x ≤ 4 log4x ≥ 2 log x ≥ log 16 x ≥ 16 4 4

С учётом ОДЗ ответ: $[ 1 1 ] x ∈ --;-- ∪ [16;+ ∞ ) 16 4$ .