Задача к ЕГЭ на тему «Логарифмические неравенства с числовым основанием» №16

Решите неравенство

   2( 2      )      ( 2      )3 log2 x − 2x + 5 − log2 x − 2x + 5 + 2 ≤0

Найдем ОДЗ:

 2 x − 2x+ 5> 0 » class=»math-display» src=»/images/math/answer/answer-1628-1.svg» width=»auto»></div>
<p class= На ОДЗ имеем:

   ( 2       )3      ( 2       ) log2 x − 2x+ 5  = 3log2 x − 2x+ 5

Сделаем замену log (x2− 2x+ 5)= t:   2

  2  t − 3t+2 ≤ 0 (t− 1)(t− 2)≤ 0

По методу интервалов имеем:

PIC

Отсюда получаем t∈ [1;2],  тогда

   ( 2       ) log2 x − 2x +5 ∈ [1;2]

Заметим, что

 2               2 x − 2x+ 5= (x− 1) + 4≥ 4

Следовательно,

   ( 2       ) log2 x − 2x+ 5 ≥ log2 4= 2

Таким образом, подходят только те x,  при которых

   ( 2       ) log2 x − 2x+ 5 = log24

Отсюда получаем окончательно x = 1.

Оцените статью
Я решу все!