Задача к ЕГЭ на тему «Логарифмические неравенства с числовым основанием» №12

Просмотров 7 Комментарии 0

Решите неравенство

( ) log64x4 ⋅ log0,58x 2 ≤ 3

ОДЗ неравенства: $64x > 0,64x ⁄= 1,8x > 0 » class=»math» width=»auto»>, то есть <img decoding=$ .

Решим неравенство на ОДЗ.
Первый логарифм преобразуется в

1 1 1 log64x 4 = log-64x- = -1-----------------= ----1------ 4 2 (log264 + log2x ) 3 + 2 log2 x

Второй логарифм преобразуется:

log0,58x = − (log2 8 + log2 x) = − 3 − log2 x

Сделаем замену: $log2 x = t$ . Тогда неравенство примет вид:

2 ---1-- ⋅ (− 3 − t)2 ≤ 3 ⇔ 2(t +-3)-−-3(t +-6)≤ 0 ⇔ t(2t +-9)≤ 0 3 + 12t t + 6 t + 6

Решая данное неравенство методом интервалов, получаем:

[ 9 ] t ∈ (− ∞; − 6 ) ∪ −--;0 2

Сделаем обратную замену:

⌊ ⌊ ⌊ −6 x < 1-- log2x < − 6 x < 2 || 64 ⌈ 9 ⇔ ⌈ 9 ⇔ | − --≤ log2x ≤ 0 2−2 ≤ x ≤ 20 ⌈ --1√---≤ x ≤ 1 2 16 2

Пересекая полученный ответ с ОДЗ, получаем:

( ) [ ] 1 1 x ∈ 0; 64- ∪ --√--;1 16 2