Задача к ЕГЭ на тему «Квадратный трехчлен» №7

Просмотров 5 Комментарии 0

Даны квадратные трехчлены $f1(x)=x2 +2a1x+b1,$ $f2(x)= x2+ 2a2x+ b2$ и $f3(x)=x2+ 2a3x+b3.$ Известно, что a1a2a3 = b1b2b3 >1. » class=»math» src=»/images/math/quest/quest-2300-4.svg» width=»auto»> Может ли оказаться, что ни один из этих трехчленов не имеет более одного корня? </p></div>
<p><button class= Показать ответ

Допустим, что все три трехчлена имеют не более одного корня. Это значит, что их дискриминанты неположительны:

(|D = 4a2− 4b ≤ 0 (| a2≤ b { 1 12 1 { 12 1 |(D2 = 4a2 − 4b2 ≤ 0 ⇔ |( a2 ≤ b2 D3 = 4a23 − 4b3 ≤ 0 a23 ≤ b3

Так как любое число в квадрате неотрицательно, то можно умножить обе части первого неравенства на $a22 :$ $(a1a2)2 ≤ b1 ⋅a22 ≤ b1b2.$ Аналогично умножим на $a23$ и получим:

2 (a1a2a3) ≤ b1b2b3

Но по условию задачи $a1a2a3 = b1b2b3,$ следовательно, получаем:

2 (a1a2a3) ≤ a1a2a3 ⇔ (a1a2a3 − 1)⋅a1a2a3 ≤ 0

Так как к тому же по условию $a a a > 1, 1 2 3 » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-2300-8.svg» width=»auto»> то получаем, что должно быть выполнено: <img decoding=$ что противоречит условию.

Таким образом, предположение неверно и ответ: нет.