Задача к ЕГЭ на тему «Квадратный трехчлен» №6

Вова прислал Маше фотографию многочлена вида P(x)= ax2 +bx+ c  и утверждает, что P (0)= 1,  P(1)= 2,  P(2)= 4,  при этом существуют m,n∈ ℕ  такие, что P (mn)− P(nm-) – иррационально. Маша утверждает, что Вова ошибся. Права ли Маша?

(|   1 = P(0) = c { |(   2 = P(1) = a+ b +c     4 = P(2) = 4a+ 2b+ c

Тогда

0 = P(2)− 2P (1) = 2a− c = 2a − 1   ⇒     a = 0,5

Следовательно,

b = 2 − a− c = 2 − 0,5 − 1 = 0,5

Таким образом, Вовин многочлен может быть только           2 P(x) = 0,5x +0,5x + 1,  но тогда   (  )    p P  q – рационально при любых p,q ∈ ℕ,  следовательно,

 (   )    (  ) P  m- − P  -n    n       m

– рационально при любых m,n ∈ ℕ.

Оцените статью
Я решу все!