Задача к ЕГЭ на тему «Квадратный трехчлен» №1

Просмотров 5 Комментарии 0

При каких значениях параметра $a$ сумма корней уравнения

4 2 2 ax − 4a x+ x + a + 5x = 0

будет наибольшей?

a4x − 4a2x + x2 + a+ 5x = 0 ⇔ x2 + (a4 − 4a2 + 5)x + a = 0 ⇔ 2 2 2 ⇔ x + ((a − 2) + 1)x + a = 0

По теореме Виета сумма корней этого уравнения (если у него они есть) равна

2 2 − ((a − 2) + 1).

Данное выражение будет наибольшим при $a2 = 2,$ то есть при $a = ± √2.$

Остаётся только проверить, что при $a = ± √2$ у уравнения будут корни. При $a = √2 :$

x2 + x + √2 = 0

Так как дискриминант $√ - D = 1− 4 2 < 0,$ то у данного уравнения нет корней, следовательно, $√- a = 2$ нам не подходит. При $√- a = − 2 :$

√- x2 + x − 2 = 0

Так как дискриминант √ - D = 1+ 4 2 > 0, » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-662-12.svg» width=»auto»> то у данного уравнения есть два корня. </p>
<p class= В итоге ответ: при $√ - a = − 2.$