Задача к ЕГЭ на тему «Квадрат и его свойства» №9

Просмотров 9 Комментарии 0

Площадь четырехугольника, вершины которого являются серединами сторон квадрата, равна $1.$ Найдите площадь квадрата.

$PIC$

Четырехугольник, вершины которого середины сторон квадрата, тоже является квадратом, диагонали которого равны сторонам исходного квадрата. Действительно, т.к. $△A ′BB ′ = △B ′CC ′ = △C ′DD ′ = △D ′AA′,$ то $A′B ′ = B′C′ = C′D′ = D ′A′,$ значит, $A ′B ′C′D′$ — ромб. Но $∠D′A′A= ∠B ′A ′B = 45∘,$ следовательно, $∠D′A′B′ = 180∘− 2⋅45∘ = 90∘,$ значит, $A′B′C′D′$ — квадрат.

1 ′ ′2 ′ ′2 SA ′B′C′D′ = 2A C = 1 ⇒ A C =2

Т.к. $′ ′ AC = AD,$ то

SABCD =AD2 =2