Задача к ЕГЭ на тему «Квадрат и его свойства» №1

Просмотров 6 Комментарии 0

В квадрате $ABCD$ расстояние от точки пересечения диагоналей до одной из его сторон равно 5. Найдите площадь этого квадрата.

$PIC$

Пусть $E$ — точка пересечения диагоналей квадрата $ABCD.$ В квадрате диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, тогда имеем:

AE = ED, ∠DAE = ∠EDA

Так как квадрат является ромбом, то в квадрате диагонали делят углы пополам, то есть

∘ ∘ ∠DAE = 0,5⋅90 = 45 ∠AED = 180∘ − 45∘− 45∘ = 90∘

$PIC$

В треугольнике $ADE$ опустим из точки $E$ высоту $EF$ на сторону $AD.$ Тогда длина $EF$ и есть расстояние от точки $E$ до стороны квадрата. Так как $AE = ED,$ то $EF$ является и медианой. Но в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, тогда