Задача к ЕГЭ на тему «Кубические уравнения» №9

Просмотров 8 Комментарии 0

Найдите корни уравнения $x3− 27x− 54= 0.$

Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите меньший из них.

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

Можно угадать один из корней $x= − 3.$ Знание этого корня позволяет вынести за скобку выражение $(x + 3)$ при помощи деления столбиком:

x3+ 0⋅x2− 27x− 54 | x +3 x3+ 3x2 |-x2− 3x-− 18 ----−3x2− 27x | −-3x2−-9x | −18x− 54 | −18x−-54- | 0

Значит,

x3− 27x− 54= (x2− 3x− 18)(x+ 3)

Выражение $2 x − 3x− 18$ можно разложить на множители, найдя корни уравнения $2 x − 3x− 18= 0.$ Корни $x1 = 6,$ $x2 = −3,$ тогда окончательно

x3− 27x − 54 = (x − 6)(x+ 3)2

Произведение нескольких выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл. Отсюда находим корни исходного уравнения: $x = 6 1$ и $x = −3 2$ – подходят по ОДЗ. Меньший из них $x = −3.$